문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라플라스 변환 (문단 편집) === 합성곱(Convolution) === 함수 [math(f, g)]가 주어졌을 때, Convolution [math(\left(f*g\right)\left(t\right))]를 [math(\displaystyle \int_{0}^{t}f\left(t-u\right)g\left(u\right)du)]로 정의한다. 이 convolution은 몇 가지 성질이 있는데 다음과 같다. 1. {{{+1 [math(f*0 = 0 = 0*f)]}}} (영원) 1. {{{+1 [math(f*g = g*f)]}}} ([[교환법칙]]) 1. {{{+1 [math(f*(g+h) = f*g + f*h)]}}} ([[분배법칙]]) 1. {{{+1 [math(f*(g*h) = (f*g)*h)]}}} ([[결합법칙]]) 특히 중요한 것은 아래 정리로, 라플라스 역변환을 할 때 자주 쓰인다. >정리: {{{+1 [math(\mathcal{L}\left\{f*g\right\} = \mathcal{L}\left\{f\right\}\times \mathcal{L}\left\{g\right\})]}}} >예시: {{{+1 [math(\displaystyle \frac{1}{\left(s^2+1\right)^2} = \mathcal{L}\left\{\sin t \right\}\times \mathcal{L}\left\{ \sin t \right\} = \mathcal{L}\left\{(\sin *\sin) t \right\})]}}} >{{{+1 [math(\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{1}{ \left(s^2+1\right)^2} \right\} = \int_{0}^{t}\sin\left(t-u\right)\sin u du = \frac{\sin t-t\cos t}{2})]}}} 증명 ||좌변 = [math(\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-st}\int_{0}^{t} f(t-u) g(u) dudt = \int_{0}^{\infty}\int_{u}^{\infty}e^{-su}g(u) e^{-s(t-u)} f(t-u) dtdu = \int_{0}^{\infty}e^{-su}g(u) \int_{u}^{\infty}e^{-s(t-u)} f(t-u) dtdu)] [* 적분 순서의 변경과 푸비니의 정리 사용] [br] [math(\xi = t-u)]라 치환하면, [math(\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-su} g(u) \int_{0}^{\infty}e^{-s\xi} f(\xi) d\xi du)] = 우변||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기